向量

向量是既有大小又有方向的量。在几何上，向量用一条有向线段（箭头）表示：

• 线段的长度表示向量的大小（模）
• 箭头的指向表示向量的方向

提示

向量与位置无关，只由大小和方向决定。也就是说，两个大小相等、方向相同的向量被视为同一个向量，即使它们的起点不同——这称为向量的自由性（平移不变性）。

如下图，从点 $O$ 到点 $A$ 的有向线段就是一个向量，记作 $\overrightarrow{OA}$，一般也可以加粗字母表示向量，如$\bm{a} = \overrightarrow{OA}$。

向量首尾依次相连，起点到终点的新向量为它们的和，如 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$。

另一个向量的终点指向当前向量的终点的向量二者的差，如 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$

在坐标系中，通常使用终点减起点坐标来表示向量，对于 $\mathbb{R}^3$ 空间中的向量，通常表示为一个 $3 \times 1$ 的列向量：

$$\bm{a} = \overrightarrow{OA} = \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}$$

其中 $a_x$、$a_y$、$a_z$ 分别是向量在 $x$、$y$、$z$ 轴上的分量。

零向量：$\bm{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，模为 0，方向任意。

基向量：坐标轴方向的单位向量，记作 $\hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，$\hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$，$\hat{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，任意向量都可以表示为基向量的线性组合：

$$\bm{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}$$

列向量与行向量

向量有两种等价的记法：

• 列向量（$n \times 1$）：$\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}$
• 行向量（$1 \times n$）：$\begin{bmatrix} a_x & a_y & a_z \end{bmatrix}$，是列向量的转置，记作 $\bm{a}^T$

两者本质相同，只是进行矩阵运算时运算方向的区别。

1. 基础运算

加法与减法

向量加减法按对应分量进行：

$$\bm{a} \pm \bm{b} = \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_x \pm b_x \\ a_y \pm b_y \\ a_z \pm b_z \end{bmatrix}$$

数乘

标量与向量相乘：

$$k \cdot \bm{a} = \begin{bmatrix} k \cdot a_x \\ k \cdot a_y \\ k \cdot a_z \end{bmatrix}$$

$k > 0$ 方向不变，$k < 0$ 方向反向。

模（长度）

$$|\bm{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

单位化（归一化）

$$\hat{a} = \frac{\bm{a}}{|\bm{a}|}$$

单位化后的向量长度为 1，仅保留方向信息。

2. 点积 / 内积（Dot Product / Inner Product）

点积也称为内积（英语：inner product），两个向量 $\bm{a}$ 和 $\bm{b}$ 的点积定义为对应分量相乘再求和：

$$\bm{a} \cdot \bm{b} = \langle \bm{a}, \bm{b} \rangle = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$

用矩阵形式可以写为 $\bm{a}^T \bm{b}$，推广到 $n$ 维即：

$$\langle \bm{u}, \bm{v} \rangle = \bm{u}^T \bm{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n$$

几何意义：

$$\bm{a} \cdot \bm{b} = |\bm{a}| |\bm{b}| \cos\theta$$

其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。

点积是向量运算中最基础的桥梁，它直接关联了模、夹角、正交和投影：

• 模（长度）：$|\bm{a}| = \sqrt{\bm{a} \cdot \bm{a}}$
• 夹角：$\cos\theta = \frac{\bm{a} \cdot \bm{b}}{|\bm{a}| |\bm{b}|}$
• 正交（垂直）：$\bm{a} \cdot \bm{b} = 0$
• 投影长度：$\frac{\bm{a} \cdot \bm{b}}{|\bm{b}|}$

点积的性质

• $\bm{a} \cdot \bm{b} > 0$：两向量夹角小于 90°，方向大致相同
• $\bm{a} \cdot \bm{b} = 0$：两向量垂直
• $\bm{a} \cdot \bm{b} < 0$：两向量夹角大于 90°，方向大致相反
• $\bm{a} \cdot \bm{a} = |\bm{a}|^2$：向量与自身的点积等于模的平方

3. 三维空间的向量定向

在 $\mathbb{R}^3$ 中，给定三个列向量 $\bm{u}$、$\bm{v}$、$\bm{w}$ 构成的矩阵 $M = [\bm{u} \ \bm{v} \ \bm{w}]$，其行列式：

$$\det(M) = \det[\bm{u} \ \bm{v} \ \bm{w}]$$

定向判定

• $\det(M) > 0$：$(\bm{u}, \bm{v}, \bm{w})$ 构成右手系（与标准基 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 定向一致）
• $\det(M) < 0$：$(\bm{u}, \bm{v}, \bm{w})$ 构成左手系（定向相反）
• $\det(M) = 0$：三个向量共面（线性相关），无法构成空间定向

4. 叉积（Cross Product）

求与 $\bm{a}$、$\bm{b}$ 都垂直的向量

设 $\bm{a} = (a_x, a_y, a_z)$，$\bm{b} = (b_x, b_y, b_z)$，求向量 $\bm{c} = (x, y, z)$ 满足：

1. $\bm{c} \perp \bm{a}$，即 $\bm{c} \cdot \bm{a} = 0$
2. $\bm{c} \perp \bm{b}$，即 $\bm{c} \cdot \bm{b} = 0$

由垂直条件得方程组：

$$\begin{cases} a_x x + a_y y + a_z z = 0 \\ b_x x + b_y y + b_z z = 0 \end{cases}$$

消元求解，从第一个方程解出 $x$（假设 $a_x \neq 0$）：

$$x = -\frac{a_y y + a_z z}{a_x}$$

代入第二个方程：

$$b_x \left(-\frac{a_y y + a_z z}{a_x}\right) + b_y y + b_z z = 0$$

整理得：

$$(a_x b_y - a_y b_x) y + (a_x b_z - a_z b_x) z = 0$$

即：

$$\frac{y}{a_z b_x - a_x b_z} = \frac{z}{a_x b_y - a_y b_x} = t$$

令 $t$ 为任意实数，可得通解：

$$\begin{aligned} y &= t(a_z b_x - a_x b_z) \\ z &= t(a_x b_y - a_y b_x) \\ x &= t(a_y b_z - a_z b_y) \end{aligned}$$

取 $t = 1$，得到方向向量：

$$\bm{c} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{bmatrix}$$

求该向量的模：

$$\begin{aligned} |\bm{c}|^2 &= (a_y b_z - a_z b_y)^2 + (a_z b_x - a_x b_z)^2 + (a_x b_y - a_y b_x)^2 \\ &= (a_x^2 + a_y^2 + a_z^2)(b_x^2 + b_y^2 + b_z^2) - (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z)^2 \\ &= |\bm{a}|^2 |\bm{b}|^2 - (\bm{a} \cdot \bm{b})^2 \\ &= |\bm{a}|^2 |\bm{b}|^2 - |\bm{a}|^2 |\bm{b}|^2 \cos^2\theta \\ &= |\bm{a}|^2 |\bm{b}|^2 (1 - \cos^2\theta) \\ &= |\bm{a}|^2 |\bm{b}|^2 \sin^2\theta \end{aligned}$$

向量夹角 $\theta$ 的范围是 $[0, \pi]$，在此范围内 $\sin\theta \geq 0$，因此 $|\bm{c}| = |\bm{a}| |\bm{b}| \sin\theta$。

选择

与$\bm{a}$ 和 $\bm{b}$ 正交（垂直）且模为 $|\bm{a}| |\bm{b}| \sin\theta$ 的向量有两个，分别是 $\bm{c}$ 与 $-\bm{c}$，选择 $\bm{c}$ 作为 $\bm{a}$ 和 $\bm{b}$的叉积。

对于向量 $\bm{a}$ 和 $\bm{b}$，如果存在一个向量 $\bm{c}$，满足：

1. $\bm{c} \perp \bm{a}$ 并且 $\bm{c} \perp \bm{b}$
2. $|\bm{c}| = |\bm{a}| |\bm{b}| \sin\theta$
3. $(\bm{a}, \bm{b}, \bm{c})$ 为正定向，即 $\det([\bm{a} \ \bm{b} \ \bm{c}]) > 0$，也就是满足右手法则。

那么 $\bm{c}$ 就是 $\bm{a}$ 和 $\bm{b}$ 的叉积，记作：

$$\bm{a} \times \bm{b} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{bmatrix}$$

叉积的性质

• $\bm{a} \times \bm{b} = -(\bm{b} \times \bm{a})$：叉积不满足交换律
• $\bm{a} \times \bm{a} = \bm{0}$：相同向量的叉积为零向量
• $|\bm{a} \times \bm{b}| = |\bm{a}| |\bm{b}| \sin\theta$ ，即为 $\bm{a}$ 和 $\bm{b}$ 构成的平行四边形面积

叉积可以写成三阶行列式（$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 为单位基向量）：

$$\bm{a} \times \bm{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \hat{i}\begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} - \hat{j}\begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} + \hat{k}\begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}$$

右手法则

单位正交基$\bm{i},\bm{j},\bm{k}$存在一个循环顺序：

$$\bm{i}\times\bm{j}=\bm{k},\quad \bm{j}\times\bm{k}=\bm{i},\quad \bm{k}\times\bm{i}=\bm{j}$$

按 $\bm{i}\to\bm{j}\to\bm{k}\to\bm{i}$ 正向循环；如果颠倒顺序，结果向量取反：

$$\bm{j}\times\bm{i}=-\bm{k},\quad \bm{k}\times\bm{j}=-\bm{i},\quad \bm{i}\times\bm{k}=-\bm{j}$$

这个几何上的方向，和右手螺旋的操作是匹配的。

可以对叉积的计算改为矩阵运算：

$$\bm{a} \times \bm{b} = [\bm{a}]_{\times} \bm{b} = \begin{bmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{bmatrix}$$

其中 $[\bm{a}]_{\times}$ 是 $\bm{a}$ 的叉积矩阵（反对称矩阵）。

5. 混合积（Scalar Triple Product）

三个向量 $\bm{a}$、$\bm{b}$、$\bm{c}$ 的混合积定义为：

$$\bm{a} \cdot (\bm{b} \times \bm{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$$

几何意义

混合积的绝对值等于以 $\bm{a}$、$\bm{b}$、$\bm{c}$ 为棱的平行六面体的体积：

$$V = |\bm{a} \cdot (\bm{b} \times \bm{c})|$$

推导：$\bm{b} \times \bm{c}$ 得到底面平行四边形的法向量，其模等于底面积；再与 $\bm{a}$ 点积，相当于将 $\bm{a}$ 投影到法向量方向得到高，底面积乘以高即为体积。

混合积的性质

• $\bm{a} \cdot (\bm{b} \times \bm{c}) = \bm{b} \cdot (\bm{c} \times \bm{a}) = \bm{c} \cdot (\bm{a} \times \bm{b})$：轮换对称性
• $\bm{a} \cdot (\bm{b} \times \bm{c}) = -\bm{a} \cdot (\bm{c} \times \bm{b})$：交换两个向量符号取反
• 混合积为 0：三个向量共面（线性相关）
• 混合积的符号表示 $\bm{a}$ 在 $\bm{b} \times \bm{c}$ 方向的投影方向，可用于判断右手系或左手系

6. 外积

外积（英语：outer product），又称张量积，是两个向量生成矩阵的运算。对于列向量 $\bm{u} \in \mathbb{R}^m$、$\bm{v} \in \mathbb{R}^n$：

$$\bm{u} \otimes \bm{v} = \bm{u} \bm{v}^T = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 v_1 & u_1 v_2 & \cdots & u_1 v_n \\ u_2 v_1 & u_2 v_2 & \cdots & u_2 v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_m v_1 & u_m v_2 & \cdots & u_m v_n \end{bmatrix}$$

结果是一个 $m \times n$ 的矩阵，其中每个元素 $(\bm{u} \otimes \bm{v})_{ij} = u_i v_j$。

外积的性质

• 秩为 1：外积生成的矩阵 $\bm{u} \otimes \bm{v}$ 的列空间由 $\bm{u}$ 张成，行空间由 $\bm{v}$ 张成，秩恒为 1（当 $\bm{u}, \bm{v} \neq \bm{0}$ 时）。
• 作用方式：$(\bm{u} \otimes \bm{v}) \bm{x} = \bm{u} (\bm{v}^T \bm{x}) = (\bm{v} \cdot \bm{x}) \bm{u}$，即先将 $\bm{x}$ 投影到 $\bm{v}$ 方向得到一个标量，再沿 $\bm{u}$ 方向放缩。
• 与内积的关系：$\bm{u}^T \bm{v}$ 是标量（内积），$\bm{u} \bm{v}^T$ 是矩阵（外积）。
• 不满足交换律：$\bm{u} \otimes \bm{v} \neq \bm{v} \otimes \bm{u}$，但 $(\bm{u} \otimes \bm{v})^T = \bm{v} \otimes \bm{u}$。

7. 正交投影

7.1 投影矩阵

将 $\bm{a}$ 投影到 $\bm{b}$ 方向上：

$$\mathrm{proj}_{\bm{b}}(\bm{a}) = \frac{\bm{a} \cdot \bm{b}}{|\bm{b}|^2} \bm{b} = \frac{\bm{a} \cdot \bm{b}}{\bm{b} \cdot \bm{b}} \bm{b}$$

标量 $\frac{\bm{a} \cdot \bm{b}}{|\bm{b}|}$ 是 $\bm{a}$ 在 $\bm{b}$ 方向上的投影长度（带符号），再乘以 $\bm{b}$ 的单位向量 $\frac{\bm{b}}{|\bm{b}|}$ 即得到投影向量。

并且

$$\begin{aligned} (\bm{a} \cdot \bm{b})\bm{b} &= (a_1 b_1 + \dots + a_n b_n)\bm{b} \\ &= \begin{bmatrix} a_1 b_1 b_1 + \dots + a_n b_n b_1 \\ \vdots \\ a_1 b_1 b_n + \dots + a_n b_n b_n \end{bmatrix} \\ &= a_1 \begin{bmatrix} b_1 b_1 \\ \vdots \\b_1 b_n \end{bmatrix} + \dots + a_n \begin{bmatrix} b_n b_1 \\ \vdots \\b_n b_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} b_1 b_1 & \dots & b_1 b_n \\ &\vdots \\ b_1 b_n & \dots & b_n b_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \\ &= \bm{b} \bm{b}^T \bm{a} \\ &= \bm{b} \otimes \bm{b} \bm{a} \end{aligned}$$

投影矩阵

一个向量的外积除以内积即为投影矩阵:

$$P_{\bm{b}} = \frac{\bm{b} \otimes \bm{b}}{\bm{b}^T \bm{b}}$$

即：

$$\mathrm{proj}_{\bm{b}}(\bm{a}) = \frac{\bm{a} \cdot \bm{b}}{\bm{b} \cdot \bm{b}} \bm{b} = \frac{\bm{b} \bm{b}^T}{\bm{b}^T \bm{b}} \bm{a} = \frac{\bm{b} \otimes \bm{b} }{\bm{b}^T \bm{b}} \bm{a}$$

7.2 正交分解

$\bm{a}$ 可以分解为平行于 $\bm{b}$ 的分量和垂直于 $\bm{b}$ 的分量：

$$\begin{aligned} \bm{a}_{\parallel} &= \mathrm{proj}_{\bm{b}}(\bm{a}) & &\text{（投影，平行分量）} \\ \bm{a}_{\perp} &= \bm{a} - \mathrm{proj}_{\bm{b}}(\bm{a}) & &\text{（排斥，垂直分量）} \end{aligned}$$