行列式

1. 线性方程组的通解

对于二元一次方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases}$$

如果它有唯一解，那么利用高斯消元法，可以将它的解为：

$$\begin{cases} x = \frac{b_1 a_{22} - a_{12}b_2}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \\ y = \frac{b_2 a_{11} - a_{21}b_1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{cases}$$

这个解的分子和分母的形式非常相似，写成方阵形式时都是交叉相乘再相减，以分母为例：

$$a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$$

这样，上面方程组的解就可以表示为：

$$\begin{cases} x = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \\ y = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \end{cases}$$

同样的，用高斯消元法可以求解三元一次方程组的解：

$$\begin{cases} x = \frac{b_1 a_{22} a_{33} - b_1 a_{23} a_{32} - a_{12} b_2 a_{33} + a_{12} a_{23} b_3 + a_{13} b_2 a_{32} - a_{13} a_{22} b_3}{a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}} \\ y = \frac{a_{11} b_2 a_{33} - a_{11} a_{23} b_3 - b_1 a_{21} a_{33} + b_1 a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} b_3 - a_{13} b_2 a_{31}}{a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}} \\ z = \frac{a_{11} a_{22} b_3 - a_{11} b_2 a_{32} - a_{12} a_{21} b_3 + a_{12} b_2 a_{31} + b_1 a_{21} a_{32} - b_1 a_{22} a_{31}}{a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}} \end{cases}$$

显然解的各项的分子与分母的形式都相似，如果将这种形式的参数用方阵表示，就是：

$$\begin{cases} x = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}} \\ y = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}} \\ z = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}} \end{cases}$$

同样的，扩展到$n$元时，解可以表示为：

$$x_{i} = \frac{\stackrel{ith}{\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots &b_1 & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots &b_2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}}$$

这种方阵表示为解析式时，有$n!$项，每一项由前面的符号和$n$项系数的乘积组成，即:

$$(-1)^{t} a_{1p_1} a_{2p_2} \cdots a_{np_n}$$

其中$p_1 p_2 \cdots p_n$为$\Set{1,2,\cdots,n}$的全排列，$a_{ij}$为参数方阵的元素，t由排列的逆序数来确定。

逆序数

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称为一个逆序对(英语：reverse pair)。一个排列中逆序对的个数称为该排列的逆序数(英语：reverse count)。

例如，对于数列$A = \Set{3,2,5,4,1}$，用${t_i}$分别表示数列里第$i$个元素左侧比它大的元素的个数，那么：

$$\begin{cases} t_1 &= 0 \\ t_2 &= 1 \\ t_3 &= 0 \\ t_4 &= 1 \\ t_5 &= 4 \end{cases}$$

该数列的逆序数为$t_A=\sum_{i=1}^5 t_i = 6$。

上面的数列，交换一下5和4的顺序，即$B = \Set{3,2,4,5,1}$，用${t_i}$分别表示数列里第$i$个元素左侧比它大的元素的个数，那么：

$$\begin{cases} t_1 &= 0 \\ t_2 &= 1 \\ t_3 &= 0 \\ t_4 &= 0 \\ t_5 &= 4 \end{cases}$$

此时，该数列的逆序数为$t_B=\sum_{i=1}^5 t_i = 5$。

提示

交换排列的任意两个元素，排列的逆序数会改变奇偶性。

求解线性方程组时，总结出来的方阵即为行列式（Determinant）。

2. 行列式的定义

n阶行列式

方阵$A$的行列式（英语：determinant），是一种数学运算，结果是一个数，记作$|A|$或$\det(A)$。 $n \times n$的方阵$A$，其行列式可以表示为：

$$\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

且

$$\det(A) = \sum(-1)^{t} a_{1p_1} a_{2p_2} \cdots a_{np_n}$$

或

$$\det(A) = \sum(-1)^{t} a_{p_1 1} a_{p_2 2} \cdots a_{p_n n}$$

其中$t$为排列$p_1 p_2 \cdots p_n$的逆序数，$a_{ij}$为$A$的元素。

2.1. 二阶行列式

$$\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

等于列向量 $\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}$ 张成的平行四边形面积。

2.2. 三阶行列式

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \end{aligned}$$

等于三个列向量张成的平行六面体体积，这与向量的混合积一致： $\det\begin{bmatrix} \bm{a} & \bm{b} & \bm{c} \end{bmatrix} = \bm{a} \cdot (\bm{b} \times \bm{c})$ 。

2.3. 行列式的计算复杂度

直接根据其定义进行行列式计算，以3阶行列式为例，它共有$3!$种排列方式，每种排列需要$2$次乘法，所以总共需要$2\times 3! = 12$次乘法。同时，它还需要$3!-1 = 5$次加/减法，所以总的计算量为$12+5 = 17$次。

对于$n$阶，它共有$n!$种排列方式，每种排列需要$n-1$次乘法，所以总共需要$(n-1)n!$次乘法。 同时，它还需要$n!-1$次加/减法，所以总的计算量为$(n-1)n! + n! - 1 = n\times n! - 1$次。

注意

直接计算$n$阶行列式的计算复杂度为$O(n!)$，对于复杂的方阵，计算行列式的代价是很大的。

3. 拉普拉斯展开

对于一个$3 \times 3$的方阵$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$，将其行列式按第一行的项合并，有：

$$\begin{aligned} \det(A) &= a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} \\ &= a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) - a_{12}( a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}) + a_{13}( a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31}) \\ & = a_{11} \times \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \times \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \times \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\\ &= a_{11}|A_{11}| - a_{12}|A_{12}| + a_{13}|A_{13}|\\ &=\sum_{j=1}^3 (-1)^{1+j} a_{1j} \det(A_{1j}) \end{aligned}$$

其中$A_{ij}$表示$A$的去掉第$i$行第$j$列后的子阵(英语：sub matrix)，其对应的行列式$\det(A_{ij})$，称作余子式(英语：minor)。

将上述形式推广到n阶方阵，有：

$$\begin{aligned} \det(A) &= |A| \\ &= \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\det(A_{ij}) \\ &= \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij} \end{aligned}$$

其中，$C_{ij}$为代数余子式(英语：cofactor)，表示的是余子式和它前面的符号结合起来，即：

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$$

除了可以按第一行展开，还可以按第一列展开，甚至可以按任意一行或列展开，这就定义了一种递归的计算行列式的方法，即拉普拉斯展开(英语：Laplace expansion)。

拉普拉斯展开

对于任意$n \times n$的方阵$A$，$n \geq 2$，都有：

1. 以第$i$行展开：

$$\det(A) = |A| = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\det(A_{ij}) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}$$

2. 以第$j$列展开：

$$\det(A) = |A| = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\det(A_{ij}) = \sum_{i=1}^n a_{ij} C_{ij}$$

其中，$C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$，为代数余子式。

例如，$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$的计算过程如下：

$$\begin{aligned} |A| &= 1 \times (-1)^{1+1} \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} + 2 \times (-1)^{1+2} \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \times (-1)^{1+3} \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\\ &= 1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\\ &= 1 \times (5 \times 9 - 6 \times 8) - 2 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) + 3 \times (4 \times 8 - 5 \times 7)\\ &= 1 \times (-3) - 2 \times (-6) + 3 \times (-3)\\ &= 0 \end{aligned}$$

3.1 计算复杂度

令$M(n)$为$n$阶行列式需要的乘法次数，$A(n)$为$n$阶行列式需要的加法/减法次数。显然，$M(2)=2$，$A(2)=1$。

对于$n \geq 3$，有：

$$A(n) = n - 1 + nA(n), \quad M(n) = n + nM(n-1)$$

先化简$A(n)$:

$$\begin{aligned} A(n) + 1 &= n(A(n-1) + 1) \\ & = n(n-1)(A(n-2) + 1) \\ & = n(n-1)\cdots 3 (A(2) + 1) \\ & = n\cdot(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \\ & = n! \end{aligned}$$

那么，$A(n) = n! - 1$。

再化简$M(n)$:

$$\begin{aligned} M(n) &= n + nM(n-1) \\ & = n + n(\cdots (5 + 5\cdot(4 + 4\cdot(3 + 3\cdot M(2))))) \\ & = n + n(\cdots (5 + 5\cdot(4 + 4\cdot(3 + 3\cdot 2)))) \\ & = n + n(\cdots (5 + 5\cdot4 + 5\cdot4\cdot3 + 5\cdot4\cdot3\cdot2)) \\ & = n + n \cdot (n-1) + n \cdot (n-1) \cdot (n-2) + \cdots + n! \\ & = n!(1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{(n-1)!}) \end{aligned}$$

那么，有：$n! < M(n) < (1-e)n!$

因此，通过拉普拉斯定理展开行列式计算复杂度为$A(n)+M(n)$，即$O(n!)$。

注意

使用拉普拉斯展开计算行列式的计算复杂度为$O(n!)$，对于复杂的矩阵，计算行列式的代价是很大的。

4. 行列式的性质

4.1 基本性质

定理

对于一个$n \times n$的方阵$A$，其行列式有如下性质：

1. 如果A某行或列的元素全为0，则行列式为0。
2. 如果A的某两行或两列相等，则行列式为0。
3. 交换$A$的两行或两列得到$B$，则$|B| = -|A|$，即交换两行或两列会改变行列式的符号。
4. $A$的某行或某列乘以$k$得到$B$，则$|B| = k|A|$。
5. $|kA| = k^n|A|$
6. 将某一行/列的k倍，加减到另一行/列，得到的行列式不变。

4.2 三角阵的行列式

三角阵的行列式

对于一个$n \times n$的方阵$A$，如果它是上三角阵或下三角阵，则其行列式可以用对角线元素的乘积得到，即：

$$|A| = \prod_{i=1}^n a_{ii}$$

通过不断进行行/列变换得到三角阵的复杂度为$O(n^3)$，三角阵的行列式计算复杂度是$O(n)$。先化为三角阵再计算行列式，可大幅降低行列式的计算复杂度。

例如计算$A = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 6 \\ 9 & -5 & 2 \\ 0 & 4 & 7 \end{vmatrix}$的行列式：

$$\begin{aligned} |A| &= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 6 \\ 9 & -5 & 2 \\ 0 & 4 & 7 \end{vmatrix}\text{(第二行减去第一行的3倍)}\\ &=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 6 \\ 0 & -2 & -16 \\ 0 & 4 & 7 \end{vmatrix} \text{(第三行加第二行的2倍)}\\ &=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 6 \\ 0 & -2 & -16 \\ 0 & 0 & -25 \end{vmatrix}\\ &= 3 \times (-2) \times (-25) \\ &= 150 \end{aligned}$$

4.3 矩阵与行列式

定理

1. 对于方阵$A$，当且仅当$\det(A) \neq 0$时，$A$可逆，且有$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$
2. $\det(AB) = \det(A)det(B)$
3. $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$
4. $\det(A^T) = \det(A)$

5. 行列式的几何意义

将方阵 $A$ 视为一个线性变换，$\det(A)$ 的绝对值表示变换后单位体积被缩放了多少倍，其符号表示变换是否改变了空间的定向（英语：orientation）：

• $\det(A) > 0$：变换保持空间定向不变（右手系仍为右手系）。
• $\det(A) < 0$：变换反转了空间定向（右手系变为左手系）。
• $\det(A) = 0$：变换将空间压缩到了更低维度（降维），即 $A$ 为奇异矩阵，不可逆。

6. 克拉默法则

以三元一次方程组的解为例：

$$x = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}} ,\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}} ,\quad z = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}$$

显然，分母是参数方阵的行列式，分子是$\mathbf{b}$替换参数方阵的第$i$列得到的矩阵的行列式。

推广到n阶时，$A$是一个$n\times n$矩阵，$\mathbf{b}$是一个$n\times 1$列向量。$A_i(\mathbf{b})$表示用$\mathbf{b}$替代$A$在第$i$列得到的新矩阵，即：

$$A_i(\mathbf{b}) = \stackrel{ith}{\begin{bmatrix} \mathbf{a_1} \cdots \mathbf{b} \cdots \mathbf{a_n} \end{bmatrix}}$$

单位矩阵$I_n$的每一列都是一个单位向量，即$I_n = \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & \cdots & e_n \end{bmatrix}$，其中$e_i$是$i$号单位向量。

如果$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，那么有：

$$\begin{aligned} AI_i(\mathbf{x}) &= A\begin{bmatrix} \mathbf{e_1} & \cdots & \mathbf{x} & \cdots & \mathbf{e_n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A\mathbf{e_1} & \cdots & A\mathbf{x} & \cdots & A\mathbf{e_n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{a_1} & \cdots & \mathbf{b} & \cdots & \mathbf{a_n} \end{bmatrix} \\ &= A_i(\mathbf{b}) \end{aligned}$$

因此，

$$\det(AI_i(\mathbf{x})) = \det(A)\det(I_i(\mathbf{x})) = \det(A_i(\mathbf{b}))$$

而

$$\det(I_i(\mathbf{x})) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & x_1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & x_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_i & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & x_n & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} = x_i$$

于是，

$$x_i = \frac{\det(A_i(\mathbf{b}))}{\det(A)}$$

这就是克拉默法则(英语：Cramer's rule)。

克拉默法则

设$A$是一个$n\times n$矩阵，$\mathbf{b}$是一个$n\times 1$列向量，那么$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解$\mathbf{x}$满足：

$$\mathbf{x} = \frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix} \det(A_1(\mathbf{b})) \\ \vdots \\ \det(A_n(\mathbf{b})) \end{bmatrix}$$

即：

$$x_i = \frac{\det(A_i(\mathbf{b}))}{\det(A)}$$

其中$i \in \Set{1, 2, \cdots, n}$。

6.1 应用

设$A$是一个$n\times n$矩阵，如果$A$可逆，那么存在矩阵$X$，使得$AX=I_n$，令$\mathbf{x_j}$为$X$的第$j$列。每次求解一列，即$A\mathbf{x_j}=\mathbf{e_j}$，应用克拉默法则，有：

$$x_{ij} = \frac{\det(A_i(\mathbf{e_j}))}{\det(A)}$$

而，

$$\det(A_i(\mathbf{e_j})) = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a{nn} \end{bmatrix} = (-1)^{j+i}\det(A_{ji}) = C_{ji}$$

于是，$x_{ij} = \frac{C_{ji}}{\det(A)}$。因此$X = \frac{1}{\det(A)}[ C_{ji} ] = \frac{1}{\det(A)}[ C_{ij} ]^T$。

其中

$$[C_{ji}] = [C_{ij}]^T = \begin{bmatrix} C_{11} & \cdots & C_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & \cdots & C_{nn}\\ \end{bmatrix}$$

称为$A$的伴随矩阵(英语：adjoint matrix)，记作$\mathrm{adj}(A)$。

矩阵的逆

设$A$是一个$n\times n$矩阵，如果$A$可逆，那么有：

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\mathrm{adj}(A)$$

其中，$\mathrm{adj}(A)$是$A$的伴随矩阵。

例如，求解$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 &2 & -2 \end{bmatrix}$的逆。

首先，$A$的各代数余子式为：

$$\begin{aligned} C_{11} &= +\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -4, \quad C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 5, \quad C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3, \quad \\ C_{21} &= -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 6, \quad C_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -6, \quad C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -3, \quad \\ C_{31} &= +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 5, \quad C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -4, \quad C_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 \end{aligned}$$

因此，

$$\det(A) = 2 \times (-4) + 1 \times 5 + 2 \times 3 = 3$$

同时，$A$的伴随矩阵为：

$$\mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix} -4 & 5 & 3 \\ 6 & -6 & -3 \\ 5 & -4 & -3 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -4 & 6 & 5 \\ 5 & -6 & -4 \\ 3 & -3 & -3 \end{bmatrix}$$

因此，$A$的逆为：

$$A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} -4 & 6 & 5 \\ 5 & -6 & -4 \\ 3 & -3 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-4}{3} & 2 & \frac{5}{3} \\ \frac{5}{3} & -2 & -\frac{4}{3} \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$