四元数（Quaternion）

1. 起源

在二维复平面上，点乘以单位复数就是表示旋转。

$$z' = z \cdot e^{i\theta} = z (\cos\theta + i\sin\theta)$$

那么，三维空间能不能照抄？

三维空间有三个旋转轴，很自然地会想：能不能引入三个虚数单位 $i, j, k$，分别对应三个轴的旋转？

也就是说，我们希望构造一种数，形式为 $a + bi + cj + dk$，其中 $i^2 = j^2 = k^2 = -1$。

但问题立刻来了：$ij$ 等于什么？

• $ij$ 不能是 $1$ 或 $-1$，否则 $i$ 和 $j$ 就不是独立的了。
• $ij$ 也不能是 $i$ 或 $j$，否则两边消去后会推出矛盾。

规定 $ij = k$，经过推导可得：

$$ij = k, \quad jk = i ,\quad ki = j, \quad ij = -ji$$

这就是 Hamilton 在 1843 年发现的四元数（Quaternion）。

四元数

四元数是形如 $q = a + bi + cj + dk$ 的四维超复数，其中 $a, b, c, d \in \mathbb{R}$，虚数单位满足：

1. $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$
2. $ij = k, jk = i, ki = j$
3. $ij = -ji, jk = -kj, ki = -ik$

四元数可以表示为标量-向量形式：

$$q = (s, \bm{v})$$

其中 $s = a$ 是实部，$\bm{v} = (b, c, d)$ 是虚部向量。

2. 共轭与模长

对于四元数 $q = a + bi + cj + dk$，其共轭定义为：

$q^* = a - bi - cj - dk$

用标量-向量形式写就是 $(s, \bm{v})^* = (s, -\bm{v})$，即保持实部不变，虚部取反。

模长定义为：

$|q| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$

和复数一样，$q q^* = |q|^2$，因此四元数的逆为：

$q^{-1} = \frac{q^*}{|q|^2}$

单位四元数是模长为 1 的四元数，即 $|q| = 1$。此时 $q^{-1} = q^*$，求逆只需要取共轭，计算非常简单。

对于任意非零四元数 $q$，可以通过归一化得到单位四元数：

$\hat{q} = \frac{q}{|q|} = \frac{q}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}}$

归一化后的四元数保持原四元数的方向（旋转信息），但模长变为 1，满足单位四元数的性质。

3. 乘法

设 $q_1 = a_1 + b_1i + c_1j + d_1k$，$q_2 = a_2 + b_2i + c_2j + d_2k$，则：

$$\begin{aligned} q_1 q_2 =& (a_1 + b_1i + c_1j + d_1k)(a_2 + b_2i + c_2j + d_2k) \\ =& a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2 \\ & + (a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2)i \\ & + (a_1 c_2 - b_1 d_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2)j \\ & + (a_1 d_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2 + d_1 a_2)k \end{aligned}$$

写成向量形式为：

$(s_1, \bm{v}_1)(s_2, \bm{v}_2) = (s_1 s_2 - \bm{v}_1 \cdot \bm{v}_2,\; s_1 \bm{v}_2 + s_2 \bm{v}_1 + \bm{v}_1 \times \bm{v}_2)$

四元数乘法性质

对于四元数 $q_1$、$q_2$、$q_3$有:

1. 结合律： $(q_1q_2)q_3 = q_1(q_2q_3)$
2. 非交换性： $q_1q_2 \neq q_2q_1$（一般不满足交换律）
3. 共轭反序律： $(q_2q_1)^* = q_1^* q_2^*$
4. 模的乘法性： $|q_1q_2| = |q_1||q_2|$（可由共轭反序律证明）

3.1 点积与乘法

对于单位四元数 $q_1 = (s_1, \bm{v}_1)$和任意四元数 $q_2 = (s_2, \bm{v}_2)$，那么：

$$\begin{aligned} q_1 \cdot (q_2 q_1) &= s_1(s_2 s_1 - \bm{v}_2 \cdot \bm{v}_1) + \bm{v}_1 \cdot (s_2 \bm{v}_1 + s_1 \bm{v}_2 + \bm{v}_2 \times \bm{v}_1) \\ &= s_1^2 s_2 - s_1(\bm{v}_2 \cdot \bm{v}_1) + s_2(\bm{v}_1 \cdot \bm{v}_1) + s_1(\bm{v}_1 \cdot \bm{v}_2) + \bm{v}_1 \cdot (\bm{v}_2 \times \bm{v}_1) \\ &= s_1^2 s_2 + s_2 |\bm{v}_1|^2 \\ &= s_2 |q_1|^2 \\ &= s_2 \quad (\text{当 } |q_1| = 1 \text{ 时}) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} q_1 \cdot (q_1 q_2) &= s_1(s_1 s_2 - \bm{v}_1 \cdot \bm{v}_2) + \bm{v}_1 \cdot (s_1 \bm{v}_2 + s_2 \bm{v}_1 + \bm{v}_1 \times \bm{v}_2) \\ &= s_1^2 s_2 - s_1(\bm{v}_1 \cdot \bm{v}_2) + s_1(\bm{v}_1 \cdot \bm{v}_2) + s_2(\bm{v}_1 \cdot \bm{v}_1) + \bm{v}_1 \cdot (\bm{v}_1 \times \bm{v}_2) \\ &= s_1^2 s_2 + s_2 |\bm{v}_1|^2 \\ &= s_2(s_1^2 + |\bm{v}_1|^2) \\ &= s_2 |q_1|^2 \\ &= s_2 \quad (\text{当 } |q_1| = 1 \text{ 时}) \end{aligned}$$

定理

对于单位四元数 $q_1$（即 $|q_1| = 1$）和任意四元数 $q_2$，有：

$$q_1 \cdot (q_2 q_1) = q_1 \cdot (q_1 q_2) = \text{Re}\{q_2\}$$

4. 旋转

借鉴二维旋转，那三维旋转最直观的想法是：$p' = qp$，其中$p = (0, \bm{v})$。但这有两个问题：

1. 维度不匹配：结果的实部不一定为零，而向量应该是纯四元数（实部为零）。
2. 模长不保持：$|qp| = |q||p|$，如果 $|q| \neq 1$，旋转会缩放向量。

Hamilton 的天才之处在于他发现了夹心乘法（sandwich product）：

$$p' = qpq^{-1}$$

这个公式到底做了什么？

设旋转轴为单位向量 $\bm{u}$，旋转角为 $\theta$，则：

$$q = \cos\frac{\theta}{2} + \bm{u}\sin\frac{\theta}{2}$$

为简化记号，令 $c = \cos\frac{\theta}{2}$，$s = \sin\frac{\theta}{2}$，则 $q = (c, s\bm{u})$。

对于单位四元数，$q^{-1} = q^* = (c, -s\bm{u})$。

待旋转向量 $\bm{v}$ 表示为纯四元数 $p = (0, \bm{v})$。

第一步：计算 $qp$

$$\begin{aligned} qp &= (c, s\bm{u})(0, \bm{v}) \\ &= (c \cdot 0 - s\bm{u} \cdot \bm{v},\; c\bm{v} + 0 \cdot s\bm{u} + s\bm{u} \times \bm{v}) \\ &= (-s(\bm{u} \cdot \bm{v}),\; c\bm{v} + s(\bm{u} \times \bm{v})) \end{aligned}$$

第二步：计算 $(qp)q^{-1}$

$$\begin{aligned} qpq^{-1} &= (-s(\bm{u} \cdot \bm{v}),\; c\bm{v} + s(\bm{u} \times \bm{v}))(c, -s\bm{u}) \end{aligned}$$

先看标量部分：

$$\begin{aligned} \text{标量} &= -sc(\bm{u} \cdot \bm{v}) - (c\bm{v} + s(\bm{u} \times \bm{v})) \cdot (-s\bm{u}) \\ &= -sc(\bm{u} \cdot \bm{v}) + sc(\bm{v} \cdot \bm{u}) + s^2(\bm{u} \times \bm{v}) \cdot \bm{u} \\ &= 0 \end{aligned}$$

$(\bm{u} \times \bm{v}) \cdot \bm{u} = 0$（叉积垂直于两个因子），所以标量部分为零，结果确实是纯四元数。

再看向量部分：

$$\begin{aligned} \bm{v}' &= -s(\bm{u} \cdot \bm{v})(-s\bm{u}) + c(c\bm{v} + s(\bm{u} \times \bm{v})) + (c\bm{v} + s(\bm{u} \times \bm{v})) \times (-s\bm{u}) \\ &= s^2(\bm{u} \cdot \bm{v})\bm{u} + c^2\bm{v} + cs(\bm{u} \times \bm{v}) - cs(\bm{v} \times \bm{u}) - s^2(\bm{u} \times \bm{v}) \times \bm{u} \end{aligned}$$

利用 $\bm{v} \times \bm{u} = -\bm{u} \times \bm{v}$ 和向量三重积公式 $(\bm{u} \times \bm{v}) \times \bm{u} = -\bm{u} \times (\bm{u} \times \bm{v}) = -[(\bm{u} \cdot \bm{v})\bm{u} - \bm{v}]$（因为 $|\bm{u}| = 1$）：

$$\begin{aligned} \bm{v}' &= s^2(\bm{u} \cdot \bm{v})\bm{u} + c^2\bm{v} + 2cs(\bm{u} \times \bm{v}) + s^2((\bm{u} \cdot \bm{v})\bm{u} - \bm{v}) \\ &= 2s^2(\bm{u} \cdot \bm{v})\bm{u} + (c^2 - s^2)\bm{v} + 2cs(\bm{u} \times \bm{v}) \end{aligned}$$

代回三角函数：

• $c^2 - s^2 = \cos^2\frac{\theta}{2} - \sin^2\frac{\theta}{2} = \cos\theta$
• $2cs = 2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2} = \sin\theta$
• $2s^2 = 2\sin^2\frac{\theta}{2} = 1 - \cos\theta$

得到：

$\bm{v}' = (1 - \cos\theta)(\bm{u} \cdot \bm{v})\bm{u} + \cos\theta \cdot \bm{v} + \sin\theta(\bm{u} \times \bm{v})$

这正是罗德里格斯旋转公式（Rodrigues' Rotation Formula）！

使用四元数计算旋转

绕单位轴 $\bm{u}$ 旋转角度 $\theta$ 的步骤：

1. 构造旋转四元数：$q = \cos\frac{\theta}{2} + \bm{u}\sin\frac{\theta}{2}$
2. 表示向量：$p = (0, \bm{v})$（纯四元数）
3. 夹心乘法：$p' = qpq^{-1}$（单位四元数时 $q^{-1} = q^*$）
4. 提取结果：$p' = (0, \bm{v}')$ 的虚部即为旋转后的向量

4.1 双覆盖

设旋转四元数为 $q = \cos\frac{\theta}{2} + \bm{u}\sin\frac{\theta}{2}$，那么：

$$-q = -\cos\frac{\theta}{2} - \bm{u}\sin\frac{\theta}{2} = \cos\frac{\theta + 2\pi}{2} + \bm{u}\sin\frac{\theta + 2\pi}{2}$$

也就是说，$-q$ 相当于在 $q$ 的基础上多旋转了 $2\pi$（一整圈）。由于旋转 $2\pi$ 后物体回到原位，所以 $q$ 和 $-q$ 产生的旋转效果完全相同，这体现了四元数表示旋转的周期性。

双覆盖

每个三维旋转对应两个单位四元数：$q$ 和 $-q$，这称为双覆盖（double cover）。

4.2 组合旋转

两个四元数相乘 $q_3 = q_2 q_1$ 那么:

$$\begin{aligned} q_3pq_3^{-1} &= (q_2 q_1) p (q_2 q_1)^{-1} \\ &= (q_2 q_1) p (q_1^{-1} q_2^{-1}) \quad \text{（逆的反序律）} \\ &= q_2 (q_1 p q_1^{-1}) q_2^{-1} \quad \text{（结合律）} \end{aligned}$$

组合旋转

对于旋转四元数 $q_1$ 和 $q_2$，令 $q_3 = q_2 q_1$，则 $q_3$ 表示先执行 $q_1$ 旋转，再执行 $q_2$ 旋转的复合旋转。

5. 球面线性插值（Slerp）

5.1 二维：单位圆 $S^1$

两个点 $P_1 = (\cos\theta_1, \sin\theta_1)$ 和 $P_2 = (\cos\theta_2, \sin\theta_2)$，它们的夹角 $\phi = \theta_2 - \theta_1$。

通过点积可以求出夹角：

$\cos\phi = \cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2$

圆弧插值很简单，直接对角度线性插值：$\theta(t) = \theta_1 + t\phi$，然后代回得到点 $(\cos\theta(t), \sin\theta(t))$。

利用三角恒等式展开：

$\cos\theta(t) = \cos(\theta_1 + t\phi) = \cos\theta_1\cos(t\phi) - \sin\theta_1\sin(t\phi)$

提示

如果是极坐标表示的，那直接能得到$\phi$，如果是点坐标，则需要使用$\arccos$反算$\phi$。

5.2 三维：单位球面 $S^2$

单位球面上的点用球坐标表示，但更重要的是两点之间的关系。设球面上有两个单位向量 $\bm{v}_1$ 和 $\bm{v}_2$，它们的夹角 $\phi$ 满足：

$\cos\phi = \bm{v}_1 \cdot \bm{v}_2$

球面上两点间的最短路径是大圆弧（过球心的平面与球面的交线）。

$\bm{v}_1$ 和 $\bm{v}_2$ 张成一个过原点的平面，大圆弧就在这个平面上。以 $\bm{v}_1$ 作为该圆的一个基向量，现在求另一个正交基。

将 $\bm{v}_2$ 分解为平行于 $\bm{v}_1$ 和垂直于 $\bm{v}_1$ 的两个分量：

$\bm{v}_2 = (\bm{v}_2 \cdot \bm{v}_1)\bm{v}_1 + \bm{v}_2^\perp = \cos\phi \cdot \bm{v}_1 + \bm{v}_2^\perp$

垂直分量为：

$\bm{v}_2^\perp = \bm{v}_2 - \cos\phi \cdot \bm{v}_1$

其模长为 $|\bm{v}_2^\perp| = \sqrt{1 - \cos^2\phi} = \sin\phi$，归一化得到第二个基：

$\bm{u} = \frac{\bm{v}_2 - \cos\phi \cdot \bm{v}_1}{\sin\phi}$

现在大圆弧上任意一点可以用这两个基表示：

$\bm{v}(t) = \cos(t\phi)\bm{v}_1 + \sin(t\phi)\bm{u}$

代入 $\bm{u}$：

$\bm{v}(t) = \cos(t\phi)\bm{v}_1 + \sin(t\phi)\frac{\bm{v}_2 - \cos\phi \cdot \bm{v}_1}{\sin\phi}$

整理：

$\bm{v}(t) = \frac{\cos(t\phi)\sin\phi - \sin(t\phi)\cos\phi}{\sin\phi}\bm{v}_1 + \frac{\sin(t\phi)}{\sin\phi}\bm{v}_2$

利用正弦差角公式 $\sin(A - B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$：

$\bm{v}(t) = \frac{\sin(\phi - t\phi)}{\sin\phi}\bm{v}_1 + \frac{\sin(t\phi)}{\sin\phi}\bm{v}_2 = \frac{\sin((1-t)\phi)}{\sin\phi}\bm{v}_1 + \frac{\sin(t\phi)}{\sin\phi}\bm{v}_2$

这就是球面线性插值公式。

5.3 四维：单位超球面 $S^3$

单位四元数构成四维空间中的单位超球面 $S^3$。

两个单位四元数 $q_1$ 和 $q_2$ 的夹角同样由点积给出：

$\cos\phi = q_1 \cdot q_2 = a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 + d_1d_2$

超球面上的最短路径同样是大圆弧，插值公式与三维形式完全一致：

$q(t) = \frac{\sin((1-t)\phi)}{\sin\phi}q_1 + \frac{\sin(t\phi)}{\sin\phi}q_2$

四元数插值在四维超球面 $S^3$ 上进行，但我们关心的是三维旋转空间 $SO(3)$ 中的效果。

四元数 $q_1$ 到 $q_2$ 的相对旋转可以用 $q_\Delta$ 表示：

$q_2 = q_\Delta q_1 \quad \Rightarrow \quad q_\Delta = q_2 q_1^{-1}$

$q_\Delta$ 的实部为 $\cos\frac{\Delta\theta}{2}$，其中 $\Delta\theta$ 是相对旋转角。而四元数点积恰好给出：

$q_1 \cdot q_2 = \cos\phi = \cos\frac{\Delta\theta}{2}$

因此 $\phi = \frac{\Delta\theta}{2}$，即四元数空间中的夹角 $\phi$ 是实际相对旋转角的一半。

这意味着：

• 当 $\phi = \frac{\pi}{2}$ 时，实际旋转角 $\Delta\theta = \pi$（180°）
• 当 $q_1 \cdot q_2 < 0$ 时，$\phi > \frac{\pi}{2}$，实际旋转角 $\Delta\theta > \pi$，物体没有走最短的的旋转路径

这就是为什么插值前必须检查符号：确保 $\phi \leq \frac{\pi}{2}$，即 $\Delta\theta \leq \pi$，走最短旋转路径。

相对旋转四元数 $q_\Delta = q_2 q_1^{-1}$ 描述了从 $q_1$ 到 $q_2$ 的旋转。设：

$q_1 = w_1 + \bm{v}_1, \quad q_2 = w_2 + \bm{v}_2$

由于 $q_1$ 是单位四元数，$q_1^{-1} = q_1^* = w_1 - \bm{v}_1$。计算 $q_\Delta$：

$q_\Delta = q_2 q_1^* = (w_2 + \bm{v}_2)(w_1 - \bm{v}_1)$

展开四元数乘法：

$q_\Delta = w_2w_1 - w_2\bm{v}_1 + w_1\bm{v}_2 - \bm{v}_2\bm{v}_1$

其中 $\bm{v}_2\bm{v}_1 = -\bm{v}_2 \cdot \bm{v}_1 + \bm{v}_2 \times \bm{v}_1 = -\bm{v}_1 \cdot \bm{v}_2 - \bm{v}_1 \times \bm{v}_2$，代入得：

$q_\Delta = (w_1w_2 + \bm{v}_1 \cdot \bm{v}_2) + (w_1\bm{v}_2 - w_2\bm{v}_1 + \bm{v}_1 \times \bm{v}_2)$

$q_\Delta$ 的实部为 $w_1w_2 + \bm{v}_1 \cdot \bm{v}_2 = q_1 \cdot q_2 = \cos\frac{\Delta\theta}{2}$，虚部为：

$\operatorname{vec}(q_\Delta) = w_1\bm{v}_2 - w_2\bm{v}_1 + \bm{v}_1 \times \bm{v}_2 = \bm{k}\sin\frac{\Delta\theta}{2}$

因此，旋转轴 $\bm{k}$ 为：

$\bm{k} = \frac{w_1\bm{v}_2 - w_2\bm{v}_1 + \bm{v}_1 \times \bm{v}_2}{\sin\frac{\Delta\theta}{2}}$

其中 $\sin\frac{\Delta\theta}{2} = \sqrt{1 - (q_1 \cdot q_2)^2} = |\operatorname{vec}(q_\Delta)|$。

特殊情况：

• 当 $\Delta\theta \approx 0$ 时，$\sin\frac{\Delta\theta}{2} \approx 0$，旋转轴不确定（两四元数几乎相同），此时退化为线性插值 $q(t) = (1-t)q_1 + tq_2$，然后归一化
• 当 $\Delta\theta = \pi$ 时，$\sin\frac{\Delta\theta}{2} = 1$，$\bm{k} = \operatorname{vec}(q_\Delta)$

四元数球面线性插值

给定两个单位四元数 $q_1$ 和 $q_2$，夹角 $\phi = \arccos(q_1 \cdot q_2)$，插值公式为：

$\operatorname{Slerp}(q_1, q_2, t) = \frac{\sin((1-t)\phi)}{\sin\phi}q_1 + \frac{\sin(t\phi)}{\sin\phi}q_2, \quad t \in [0, 1]$

特点：

• 保持单位模长：$|q(t)| = 1$
• 角速度恒定：沿超球面大圆弧匀速移动
• 端点精确：$q(0) = q_1$，$q(1) = q_2$

注意事项：

1. 符号问题：$q$ 和 $-q$ 表示同一个旋转，但插值路径不同。如果 $q_1 \cdot q_2 < 0$，应将 $q_2$ 取反，确保走最短路径。

2. 除零问题：当 $\phi \approx 0$ 时，$\sin\phi \approx 0$，公式出现除零。此时退化为线性插值 $q(t) = (1-t)q_1 + tq_2$，然后归一化。