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复数

起源

复数的概念最早可以追溯到 16 世纪意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano, 1501-1576）。他在研究三次方程的求解方法时，首次遇到了负数开平方的问题。

1545 年，卡尔达诺在其著作《大术》（Ars Magna）中提出了一个著名的问题：将 10 分成两部分，使它们的乘积等于 40。这在实数范围内无解，但他给出了形式上的答案：5+−155 + \sqrt{-15} 和 5−−155 - \sqrt{-15}。

虚数单位 i 的符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在 1777 年首次引入的。而"复数"这一术语则是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）推广使用的。

19 世纪初，挪威测量学家卡斯帕·韦塞尔（Caspar Wessel）、瑞士会计师让-罗贝尔·阿甘（Jean-Robert Argand）和高斯等人独立地提出了复数的几何表示，使得复数从"虚构的数"变成了具有直观几何意义的数学对象。

Re
Re
Im
Im
\(o\)
\(\theta\)
\(\boldsymbol{z}= 2 + i \)Text is not SVG - cannot display

复数是一个形如 z=a+bi\bm{z} = a + b\bm{i} 的数，其中：

  • a 和 b 都是实数
  • i 是虚数单位，满足 i2=−1i^2 = -1，即i=−1 i = \sqrt{-1}
  • a 称为复数的实部（Real Part），记作 Re(z)
  • b 称为复数的虚部（Imaginary Part），记作 Im(z)

复数可以在复平面（也称阿甘德图）上表示：

  • 横轴表示实部（实轴）
  • 纵轴表示虚部（虚轴）
  • 复数 a + bi 对应平面上的点 (a, b)

复数到原点的距离称作 模 ，记作:

∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

复数与正实轴的夹角称作 辐角，记叙 arg⁡(z)\arg(\bm{z})

复数 z=a+biz = a + b\bm{i} 的共轭复数记作 zˉ\bar{z} 或 z∗z^*，定义为 zˉ=a−bi\bar{z} = a - b\bm{i}，即二者在复平面上关于实轴对称。

基本运算​

设两个复数 z1=a+biz_1 = a + b\bm{i} 和 z2=c+diz_2 = c + d\bm{i}，则：

z1±z2=(a±c)+(b±d)iz1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)iz1z2=z1z2ˉz2z2ˉ=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2(z2≠0)\begin{aligned} z_1 \pm z_2 &= (a \pm c) + (b \pm d)\bm{i} \\ z_1 \cdot z_2 &= (ac - bd) + (ad + bc)\bm{i} \\ \frac{z_1}{z_2} &= \frac {z_1 \bar {z_2}} {z_2 \bar {z_2}} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)\bm{i}}{c^2 + d^2} \quad (z_2 \neq 0) \end{aligned}

表示形式​

z=a+bi(代数形式)z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)(三角/极坐标形式)z=reiθ(指数形式)r=∣z∣=a2+b2,θ=arg⁡(z)\begin{aligned} \bm z &= a+bi \quad(\text{代数形式})\\ \bm z &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \quad(\text{三角/极坐标形式})\\ \bm z &= r e^{i\theta} \quad(\text{指数形式})\\ r &= |\bm z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad \theta=\arg(\bm z) \end{aligned}
欧拉公式

欧拉公式 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta 是由莱昂哈德·欧拉在 1748 年发现的。他通过比较 exe^x、sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 的泰勒级数展开式，发现了这一优美的关系。

特别地，当 θ=π\theta = \pi 时，得到欧拉恒等式：

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

这个公式被誉为"数学中最美的公式"，因为它将数学中五个最重要的常数（ee、ii、π\pi、11、00）简洁地联系在一起。

值得注意的是，欧拉公式的几何含义——即 eiθe^{i\theta} 表示复平面上单位圆上角度为 θ\theta 的点——是后来才被理解和完善的。欧拉本人最初是从分析学的角度推导出这个公式的，而其在复平面上的旋转意义是在 19 世纪复数几何表示成熟后才被广泛认识的。

几何应用​

将复数 zz 乘以 eiθe^{i\theta}，相当于将 zz 在复平面上逆时针旋转角度 θ\theta，而模长保持不变：

z′=z⋅eiθz' = z \cdot e^{i\theta}

展开来看，这就是坐标系旋转：

z′=(a+bi)(cos⁡θ+isin⁡θ)=(acos⁡θ−bsin⁡θ)+(asin⁡θ+bcos⁡θ)i\begin{aligned} z' &= (a + bi)(\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= (a\cos\theta - b\sin\theta) + (a\sin\theta + b\cos\theta)i \end{aligned}

对应的坐标变换矩阵为：

(a′b′)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(ab)\begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
妙用

虚数可以把二维平面向量的运算转化为复数代数运算，即将二维平面向量的分量分别表示为实部和虚部，那么：

  • 向量加减：复数加减
  • 向量旋转和缩放：相当于复数相乘，即模长相乘，辐角相加